Bilangan Berpangkat: 8 Sifat, Akar Kuadrat, dan Contoh Soal

Bilangan berpangkat adalah bentuk singkat dari perkalian berulang, ditulis aⁿ, dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat. Contohnya 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Ada 8 sifat yang dipakai untuk menyederhanakannya, dan materinya diajarkan di kelas 9 SMP. Panduan ini juga membahas akar kuadrat, kebalikan dari pangkat dua.

Apa Itu Bilangan Berpangkat?

Bilangan berpangkat menyingkat perkalian yang sama berulang. Pangkat 2 disebut kuadrat dan pangkat 3 disebut kubik. Pangkat menunjukkan berapa kali bilangan pokok dikalikan dengan dirinya sendiri.

Kuadrat yang sebaiknya dihafal: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, dan 20² = 400. Tanpa hafalan ini, setiap soal akar berubah menjadi tebak-tebakan.

Delapan Sifat Bilangan Berpangkat

Delapan sifat ini cukup untuk menyederhanakan hampir semua soal pangkat di SMP.

Kenapa a⁰ = 1?

Karena bilangan apa pun dibagi dirinya sendiri hasilnya 1. Menurut sifat pembagian, 2³ : 2³ = 2³⁻³ = 2⁰, sedangkan 8 : 8 jelas 1. Jadi 2⁰ = 1.

Cara lain: turunkan pangkat satu per satu, tiap kali dibagi 2. 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, maka 2⁰ = 1.

Kenapa Pangkat Negatif Berarti Pecahan?

Karena pola penurunan tadi berlanjut: 2⁰ = 1, lalu 2⁻¹ = 1/2 dan 2⁻² = 1/4. Pangkat negatif tidak membuat hasil negatif. 2⁻³ = 1/8, bukan −8.

Akar Kuadrat sebagai Kebalikan Pangkat Dua

Akar kuadrat adalah kebalikan dari pemangkatan dua: mencari bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan tersebut. Karena 6 × 6 = 36, maka √36 = 6.

Faktorisasi prima paling andal untuk bilangan besar. Contoh √576: 576 = 2⁶ × 3². Kelompokkan berpasangan (2×2)(2×2)(2×2)(3×3), ambil satu dari tiap pasang: 2 × 2 × 2 × 3 = 24. Cara membuat pohon faktor ada di faktorisasi prima.

Perkiraan untuk bilangan yang bukan kuadrat sempurna: √50 terletak antara √49 = 7 dan √64 = 8, jauh lebih dekat ke 7, jadi √50 ≈ 7,07.

Sifat akar yang perlu diingat:

• √(a × b) = √a × √b, misalnya √36 = √4 × √9 = 2 × 3 = 6
• √(a²) = a
• √(a + b) tidak sama dengan √a + √b. √(9 + 16) = √25 = 5, sedangkan √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
• Akar bilangan antara 0 dan 1 lebih besar dari bilangan itu: √0,25 = 0,5.

Akar kuadrat dipakai langsung di teorema Pythagoras untuk mencari sisi miring.

Notasi Ilmiah

Pangkat 10 dipakai untuk menulis bilangan sangat besar atau sangat kecil secara ringkas. Aturannya, bilangan depan harus antara 1 dan 10.

• 5.700.000 = 5,7 × 10⁶
• 0,00042 = 4,2 × 10⁻⁴

Contoh Soal Bilangan Berpangkat dengan Pembahasan

Soal 1

Sederhanakan (3² × 3⁴) : 3³. Pembilang: 3²⁺⁴ = 3⁶. Bagi: 3⁶⁻³ = 3³ = 27.

Soal 2

Hitung (2⁻²)⁻³. Kalikan pangkat: (−2) × (−3) = 6, jadi 2⁶ = 64.

Soal 3

Hitung 5³ × 5⁻¹. Jumlahkan pangkat: 3 + (−1) = 2, jadi 5² = 25.

Soal 4

Hitung √144 + 5². √144 = 12 dan 5² = 25, jadi hasilnya 37.

Soal 5

Bandingkan −2⁴ dan (−2)⁴. −2⁴ = −(2 × 2 × 2 × 2) = −16, sedangkan (−2)⁴ = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16. Tanda kurung mengubah seluruh jawaban.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Kesalahan paling sering adalah mengira pangkat negatif menghasilkan bilangan negatif. 2⁻³ adalah 1/8, bukan −8.

• Menjumlahkan basis, bukan pangkat: menulis 2³ × 2⁴ = 4⁷. Basisnya tetap 2.
• Menerapkan sifat 1 dan 2 pada basis berbeda. 2³ × 3² tidak bisa jadi satu pangkat.
• Salah menempatkan tanda minus, seperti pada soal 5.
• Mengira a⁰ = 0. Jawaban yang benar 1.

Rangkuman

1. Bilangan berpangkat = perkalian berulang, aturan utamanya delapan sifat.
2. a⁰ = 1 dan a⁻ⁿ = 1 : aⁿ.
3. Akar kuadrat adalah kebalikan pangkat dua; √(a + b) tidak sama dengan √a + √b.
4. Tanda kurung menentukan apakah tanda minus ikut dipangkatkan.

Bab ini jadi fondasi aljabar di SMP dan SMA. Di Algonova, lebih dari 1.000.000 siswa di 97 negara belajar matematika dengan memahami alasannya, dalam grup hingga 10 siswa mulai Rp 102.000 per pelajaran. Orang tua bisa mulai dari diagnostik matematika gratis sekitar 60 menit untuk melihat level anak.