Barisan Aritmetika: Rumus Un dan Sn + Contoh Soal

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku berurutannya selalu tetap. Selisih tetap itu disebut beda dan dilambangkan b. Contohnya 3, 7, 11, 15, 19 punya beda 4. Materi ini lanjutan langsung dari pola bilangan kelas 8 dan diperdalam di SMA.

Barisan atau Deret?

Dua istilah ini sering dianggap sama, padahal berbeda dan itulah sumber setengah kesalahan di bab ini.

• Barisan — daftar bilangannya: 3, 7, 11, 15
• Deret — hasil penjumlahannya: 3 + 7 + 11 + 15 = 36

Kalau soal bertanya "suku ke-10", itu barisan. Kalau bertanya "jumlah 10 suku pertama", itu deret. Membaca kata kuncinya dulu menghemat lebih banyak nilai daripada menghafal rumus tambahan.

Rumus Suku ke-n

dengan a = suku pertama, b = beda, n = nomor suku.

Beda dicari dengan mengurangkan suku mana pun dengan suku sebelumnya: b = U₂ − U₁.

Contoh: Barisan 5, 9, 13, 17, ... Berapa suku ke-25?

a = 5, b = 4 → U₂₅ = 5 + (25−1) × 4 = 5 + 96 = 101

Rumus Jumlah n Suku Pertama

Ada dua bentuk, dan keduanya sama:

Pakai bentuk pertama kalau suku terakhirnya sudah diketahui, bentuk kedua kalau belum.

Contoh: Jumlah 20 suku pertama dari 3, 7, 11, ...

a = 3, b = 4, n = 20

S₂₀ = 20/2 × (2×3 + 19×4) = 10 × (6 + 76) = 10 × 82 = 820

Dari Mana Rumus Sn Berasal

Cerita klasik tentang Gauss kecil yang diminta menjumlahkan 1 sampai 100. Dia memasangkan 1+100, 2+99, 3+98 — tiap pasangan bernilai 101, dan ada 50 pasangan. Jawabannya 5.050 dalam hitungan detik.

Itulah persis isi rumus Sₙ = n/2 × (a + Uₙ): banyaknya pasangan dikali nilai tiap pasangan. Anak yang pernah melihat penurunan ini tidak akan pernah tertukar antara mengali n/2 atau n.

Suku Tengah

Kalau banyaknya suku ganjil, ada suku tengah:

Beda Negatif

Barisan 20, 17, 14, 11 juga aritmetika, dengan b = −3. Rumusnya sama persis, tidak ada rumus khusus untuk barisan turun — ini sering ditanyakan dan jawabannya menenangkan.

Contoh Soal Cerita

Seorang pedagang menabung Rp 50.000 di bulan pertama, dan tiap bulan menambah Rp 10.000 dari bulan sebelumnya. Berapa total tabungan setelah 12 bulan?

a = 50.000, b = 10.000, n = 12

S₁₂ = 12/2 × (2×50.000 + 11×10.000) = 6 × (100.000 + 110.000) = 6 × 210.000 = Rp 1.260.000

Kata "total" menandakan ini soal deret, bukan barisan.

Kesalahan yang Paling Sering Terjadi

1. Memakai n, bukan (n−1). Suku ke-25 memakai 24, bukan 25. Hasilnya selalu meleset persis satu beda — kalau jawaban anak selalu kelebihan atau kekurangan tepat sebesar b, ini penyebabnya.

2. Menjawab barisan padahal ditanya deret. Soal minta jumlah, anak memberi suku ke-n. Kesalahan membaca, bukan kesalahan matematika.

3. Menghitung beda terbalik. Beda adalah suku sesudah dikurangi suku sebelum, bukan sebaliknya. Untuk 20, 17, 14, bedanya −3, bukan 3.

4. Tertukar dengan barisan geometri. Aritmetika ditambah beda tetap; geometri dikali rasio tetap. Uji cepat: kurangkan dua suku berurutan. Kalau selisihnya tetap, aritmetika.

5. Lupa membagi dengan 2 pada rumus Sn. Hasilnya jadi tepat dua kali lipat — pola kesalahan yang langsung dikenali.