El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que puede dividir a todos ellos sin dejar resto. Dicho de otra forma, es el mayor divisor que comparten esos números. Es uno de los primeros conceptos de teoría de números que se aprenden en la escuela, y aparece constantemente cada vez que hay que simplificar fracciones o repartir cosas en partes iguales. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6.
Cómo calcular el MCD de 12 y 18
Una forma sencilla es listar todos los divisores de cada número y quedarte con el más grande que se repite en ambas listas:
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
El divisor más grande que aparece en las dos listas es el 6, así que el MCD de 12 y 18 es 6. Otra forma es descomponer cada número en factores primos: 12 = 2²×3 y 18 = 2×3²; el MCD se obtiene multiplicando los factores comunes con el menor exponente con que aparecen, es decir 2×3 = 6. No hay que confundir el MCD con el mínimo común múltiplo (mcm), que busca el múltiplo más pequeño y no el divisor más grande: son operaciones opuestas que suelen enseñarse juntas.
El algoritmo de Euclides: otra manera de hallar el MCD
Cuando los números son grandes, descomponerlos en factores primos puede tardar bastante. El algoritmo de Euclides es un atajo más rápido: se divide el número mayor entre el menor y se anota el resto; luego se repite el proceso usando el divisor anterior y ese resto, una y otra vez, hasta que el resto llegue a 0. El último divisor usado antes de llegar a resto 0 es el MCD.
Por ejemplo, para hallar el MCD de 48 y 18: 48 ÷ 18 = 2 con resto 12; después 18 ÷ 12 = 1 con resto 6; después 12 ÷ 6 = 2 con resto 0. Como el resto llegó a 0, el último divisor usado (6) es el MCD de 48 y 18. Este método es el que usan calculadoras y programas informáticos, porque funciona con cualquier par de números, por grandes que sean, sin necesidad de encontrar antes sus factores primos.
¿Para qué sirve el MCD para los niños?
El uso más frecuente del MCD es simplificar fracciones: para reducir 12/18 a su forma más simple se divide el numerador y el denominador entre su MCD (6), y queda 2/3. También ayuda a resolver problemas de reparto, como averiguar en cuántos grupos iguales se puede dividir un conjunto de objetos sin que sobre ninguno, o cuál es el tamaño máximo de baldosas cuadradas para cubrir un piso rectangular sin cortar ninguna pieza.
Un ejemplo cotidiano: si tienes 24 galletas y 36 caramelos y quieres armar bolsas de regalo iguales sin que sobre nada, el MCD de 24 y 36 (que es 12) indica que puedes armar como máximo 12 bolsas, cada una con 2 galletas y 3 caramelos.
El MCD se aprende en primaria, hacia 5° o 6° grado, junto con el mcm, y sigue siendo útil durante toda la secundaria cada vez que aparecen fracciones o problemas de reparto exacto. ¿Quieres que tu hijo domine las matemáticas paso a paso? Reserva una masterclass gratis con un profesor de Algonova.
Ejemplos de MCD resueltos
Estos ejemplos muestran cómo calcular el MCD con dos y con tres números usando factores primos. Se descompone cada número y se toma cada factor común con su menor exponente.
- MCD de 24 y 36: 24 = 2³×3 y 36 = 2²×3², así que el MCD es 2²×3 = 12.
- MCD de 18, 24 y 30: 18 = 2×3², 24 = 2³×3 y 30 = 2×3×5, así que el único factor común es 2×3 = 6.
- MCD de 7 y 15: como no comparten ningún factor primo, el MCD es 1 (son números primos entre sí).
La regla es tomar solo los factores primos que se repiten en todos los números, cada uno elevado al menor exponente con que aparece. Si ningún factor se repite, el MCD es 1. Para practicar el MCD con problemas y juegos guiados por un profesor, prueba una clase de programación gratis o mira el curso de programación para niños de Algonova.
